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Parcours d'accompagnement pour performer au BAC de Maths

Formules essentielles, méthodes classiques et annales corrigées pour viser l'excellence.

Conseils pour réussir :

  • Les notes du bac comptent pour Parcoursup donc il faut tout donner MAINTENANT
  • Mettre son téléphone loin pendant chaque séance de travail
  • Si vous ne vous sentez pas prêt : c'est normal (personne ne l'est)
  • Connaître toutes les formules essentielles + maîtriser les exercices classiques
  • Le bac de maths est très redondant : 2 annales et vous ne pourrez pas être surpris
  • Faire ne serait-ce que le quart de ce programme = au moins 15 !

Formules et Méthodes Essentielles

Identités remarquables

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$

Équation du second degré

Soit l'équation \(az^2 + bz + c = 0\) et le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\)

  • Si \(\Delta > 0\) alors 2 solutions réelles :
    $$z_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad z_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$ $$z_1 z_2 = \frac{c}{a} \qquad z_1 + z_2 = \frac{-b}{a}$$
  • Si \(\Delta = 0\) alors 1 solution réelle :
    $$z_0 = \frac{-b}{2a}$$

Équation d'une tangente

$$T : y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a\,;b]\) alors :

Pour tout réel \(y\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\) compris entre \(a\) et \(b\) tel que \(f(c) = y\).

Corollaire du TVI

Soit \(f\) une fonction continue et strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur l'intervalle \([a\,;b]\) alors :

  • L'image de l'intervalle \([a\,;b]\) par \(f\) est l'intervalle \([f(a)\,;f(b)]\) (resp. \([f(b)\,;f(a)]\)).
  • Pour tout \(y\) de l'intervalle \([f(a)\,;f(b)]\) (resp. \([f(b)\,;f(a)]\)), l'équation \(f(x) = y\) d'inconnue \(x\) possède une unique solution dans l'intervalle \([a\,;b]\).

Suites arithmétiques

De raison \(r\) et premier terme \(u_0\) :

$$u_{n+1} = u_n + r \qquad \text{ou} \qquad u_n = u_0 + nr$$

Somme de \(n\) termes consécutifs :

$$S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{1er terme} + \text{dernier}}{2}$$

Suites géométriques

De raison \(q\) et premier terme \(u_0\) :

$$u_{n+1} = q \cdot u_n \qquad \text{ou} \qquad u_n = u_0 \, q^n$$

Somme de \(n\) termes consécutifs :

$$S = \text{1er terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q} \quad \text{avec } q \neq 1$$

En particulier :

$$1 + x + x^2 + x^3 + \ldots + x^n = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} \quad (x \neq 1)$$

Sens de variation

  • \((u_n)\) est croissante si \(u_n \leqslant u_{n+1}\) pour tout entier naturel \(n\), c'est-à-dire \(u_{n+1} - u_n \geqslant 0\)
  • \((u_n)\) est décroissante si \(u_n \geqslant u_{n+1}\) pour tout entier naturel \(n\), c'est-à-dire \(u_{n+1} - u_n \leqslant 0\)

Récurrence

Démontrer par récurrence (les deux étapes sont indispensables) :

  1. On vérifie que \(\mathcal{P}_{n_0}\) est vraie (initialisation)
  2. On suppose que \(\mathcal{P}_n\) est vraie pour un entier quelconque \(n\) fixé, \(n \geqslant n_0\), et on montre alors que \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie (hérédité)
  3. On conclut par le principe de récurrence que : pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(n \geqslant n_0\), \(\mathcal{P}_n\) est vraie

Théorème de comparaison

Soit \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites telles que \(u_n \leqslant v_n\) à partir d'un certain rang \(n_0\).

  • Si \(\lim u_n = +\infty\) alors \(\lim v_n = +\infty\)
  • Si \(\lim v_n = -\infty\) alors \(\lim u_n = -\infty\)

Théorème des gendarmes

Soit \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) trois suites telles que \(u_n \leqslant v_n \leqslant w_n\) à partir d'un certain rang \(n_0\).

Si \((u_n)\) et \((w_n)\) convergent vers une même limite \(\ell\), alors \((v_n)\) converge aussi vers \(\ell\).

Limites de référence

$$\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$$ $$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} x^n\,e^x = 0$$ $$\lim_{x \to +\infty} x^n\,e^{-x} = 0$$ $$\lim_{x \to 0} \ln x = -\infty$$ $$\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$
\(f(x)\) \(f'(x)\)
\(k\)\(0\)
\(\dfrac{1}{x}\)\(\dfrac{-1}{x^2}\)
\(\ln x\)\(\dfrac{1}{x}\)
\(\cos x\)\(-\sin x\)
\(x\)\(1\)
\(\dfrac{1}{x^n}\), \(n \in \mathbb{N}\)\(\dfrac{-n}{x^{n+1}}\)
\(e^x\)\(e^x\)
\(\sin x\)\(\cos x\)
\(x^n\)\(nx^{n-1}\)
\(\sqrt{x}\)\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
$$(u + v)' = u' + v'$$ $$(uv)' = u'v + uv'$$ $$\left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$$ $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ $$(e^u)' = u'\,e^u$$
$$(ku)' = ku'$$ $$\left(\frac{1}{u}\right)' = \frac{-u'}{u^2}$$ $$(u^n)' = nu'\,u^{n-1}$$ $$(v \circ u)' = u' \cdot v' \circ u$$ $$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$$

Fonctions de référence

Fonction \(f\) Primitive \(F\) Intervalle
\(x^n\)   \((n \in \mathbb{Z} \setminus \{0,-1\})\) \(\dfrac{1}{n+1}\,x^{n+1}\) \(\mathbb{R}\) si \(n \geqslant 1\)
\(\dfrac{1}{x}\) \(\ln(x)\) \(]0\,;+\infty[\)
\(\dfrac{1}{x^2}\) \(-\dfrac{1}{x}\) \(\mathbb{R}^*\)
\(\dfrac{1}{x^n}\)   \((n \geqslant 2)\) \(\dfrac{-1}{(n-1)\,x^{n-1}}\) \(]-\infty\,;0[\;\cup\;]0\,;+\infty[\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) \(2\sqrt{x}\) \(]0\,;+\infty[\)
\(e^x\) \(e^x\) \(\mathbb{R}\)
\(\cos x\) \(\sin x\) \(\mathbb{R}\)
\(\sin x\) \(-\cos x\) \(\mathbb{R}\)

Avec fonctions composées

Fonction \(f\) Primitive \(F\) Condition
\(u'\,u^n\)   \((n \in \mathbb{Z} \setminus \{0,-1\})\) \(\dfrac{1}{n+1}\,u^{n+1}\)
\(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) \(2\sqrt{u}\) \(u > 0\)
\(\dfrac{u'}{u}\) \(\ln(u)\) si \(u > 0\), \(\ln(-u)\) si \(u < 0\)
\(u'\,e^u\) \(e^u\)
\(u'\sin u\) \(-\cos u\)
\(u'\cos u\) \(\sin u\)
\(x \mapsto u(ax+b)\) \(x \mapsto \dfrac{1}{a}\,U(ax+b)\)
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(\bar{A}) = 1 - P(A) \quad;\quad P(\Omega) = 1 \quad;\quad P(\varnothing) = 0$$

En cas d'équiprobabilité

$$P(A) = \frac{\text{nombre d'éléments de } A}{\text{nombre d'éléments de } \Omega} = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$$

Probabilité conditionnelle

$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

Si A et B sont indépendants

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

Généralités

Coordonnées de \(\vec{AB}\) :

$$\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$$

Coordonnées du milieu de \([AB]\) :

$$I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\;;\;\frac{y_A + y_B}{2}\;;\;\frac{z_A + z_B}{2}\right)$$

Longueur du segment \([AB]\) :

$$AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$$

Colinéarité

S'il existe deux nombres réels \(\alpha\) et \(\beta\) non simultanément nuls tels que : \(\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} = \vec{0}\)

S'il existe un nombre réel \(\lambda\) non nul tel que : \(\vec{u} = \lambda\vec{v}\)

De plus deux vecteurs non nuls \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires si les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles.

Vecteurs coplanaires

Trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires si et seulement s'il existe trois nombres réels \(\alpha\), \(\beta\) et \(\delta\), non simultanément nuls tels que \(\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \delta\vec{w} = \vec{0}\)

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) non colinéaires, non nuls, s'il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que : \(\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}\), alors \(\vec{w}\) est combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Produit scalaire

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}\,;\vec{v}) = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$$

Formules de polarisation :

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$$ $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$$

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)

Représentation paramétrique d'une droite

Soit \(\mathcal{D}\), la droite passant par le point \(A\) de coordonnées \((x_A\,; y_A\,; z_A)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \delta \end{pmatrix}\) :

$$M(x\,;y\,;z) \in \mathcal{D} \iff \exists\, t \in \mathbb{R},\; \begin{cases} x = x_A + t\alpha \\ y = y_A + t\beta \\ z = z_A + t\delta \end{cases}$$

Équation cartésienne d'un plan

Soit \(\mathcal{P}\) le plan passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) :

$$M(x\,;y\,;z) \in \mathcal{P} \iff \vec{n} \cdot \vec{AM} = 0 \iff a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$$

Une représentation cartésienne de ce plan est \(ax + by + cz + d = 0\).

Méthodes à connaître

A, B, C forment un plan

Les 3 points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés. Donc si \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) ne sont pas colinéaires.

Le vecteur \(\vec{n}\) est un vecteur normal au plan (ABC)

Pour montrer que \(\vec{n}\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\), il faut prouver que \(\vec{n}\) est non nul et orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \((ABC)\).

On prouve donc que \(\vec{n} \neq \vec{0}\) et par exemple que \(\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0\) et \(\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0\).

La droite de vecteur directeur \(\vec{u}\) est perpendiculaire au plan (ABC)

Première méthode : on prouve, par exemple que, \(\vec{u} \cdot \vec{AB} = 0\) et \(\vec{u} \cdot \vec{AC} = 0\).

Deuxième méthode : si on dispose d'un vecteur \(\vec{n}\) normal au plan \((ABC)\), il suffit de vérifier que \(\vec{n}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires.

Annales conseillées

SURTOUT : ne vous précipitez pas sur la correction, privilégiez le fait de chercher 5-10 min une question.